とりあえず，設置も完了し，すべてうまく行ったと思っていたところ
動作確認をしてみたら，送信完了の画面にならないのです。
メールは送信されていて，受信もできてます。

なぜ送信完了の画面にならないのでしょうか
ご教示下さい。

フォームのHTMLに以下の記述があるか確認してください

<INPUT type="hidden" name="c_copy" value="on">

これがないと、送信後の確認画面が表示されなかったはずです。
間違っていたらごめんなさい。